Какие числа нечетные. Что такое нечетные числа и как их узнать? Чет и нечет
Соображения четности (нечетности) часто используются при решении математических задач (и элементарных, и весьма "продвинутых"). В данной статье рассматриваются подходы к решению подобных задач.
Мы начнем с простейших примеров, а в заключительной части рассмотрим несколько "олимпиадных" заданий, в решении которых нам помогут соображения четности.
Четные и нечетные числа. Начальные сведения
В данной статье мы будем рассматривать главным образом натуральные или целые числа. Напомню, что число называется четным, если оно делится нацело на 2. Иначе говоря, любое четное число n можно представить в виде n = 2k, где k - целое число, а любое нечетное - в виде n = 2k + 1 (или n = 2k - 1). Ноль, естественно, будем считать четным числом.
Пример 1 . Числа 34 и 171 представьте в виде 2k или 2k + 1, где k-целое число.
34 = 2 17 (34 - четное число); 171 = 2 85 + 1 (171 - нечетное число).
Задание 1 . Числа 68, 133, -2246 и -8977 представьте в виде 2k или 2k+1, где k-целое число.
Задание 2 . Представьте число 18 в виде: а) суммы двух четных чисел, б) суммы двух нечетных чисел. Можно ли получить 18 при сложении четного и нечетного чисел?
Задание 3 . Представьте число 24 в виде: а) произведения двух четных чисел, б) произведения четного и нечетного чисел. Можно ли получить 24 при умножении двух нечетных чисел?
Сумма, произведение, частное четных (нечетных) чисел
Утверждение 1 . Сумма двух четных чисел - четное число.
Доказательство. Пусть числа m и n являются четными. Докажем, что число r = m + n также четно. m=2k, n=2p, где k и p - целые числа. Тогда r = m + n = 2k + 2p = 2(k + p) = 2s. Если числа k и p являются целыми, то их сумма s - тоже целое число. Мы доказали, что число r может быть представлено в виде произведения двойки и целого числа. Доказательство завершено.
Утверждение 2 . Сумма двух нечетных чисел - четное число. Докажите самостоятельно.
Утверждение 3 . Сумма четного и нечетного чисел - нечетное число. Докажите самостоятельно.
Утверждение 4 . Произведение двух нечетных чисел - нечетное число.
Доказательство. Пусть числа m и n являются нечетными. Докажем, что число r = m n также нечетно.
m = 2k + 1, n = 2p + 1, где k и p - целые числа.
Тогда r = m n = (2k+1) (2p+1) = 4kp + 2k + 2p + 1 = 2(2kp + k + p) + 1 = 2s + 1.
Если числа k и p являются целыми, то число s = 2kp + k + p - тоже целое число.
Мы доказали, что число r может быть представлено в виде r = 2s + 1, следовательно, является нечетным. Ч. т. д.
Утверждение 5 . Произведение двух четных чисел - четное число. Докажите самостоятельно.
Утверждение 6 . Произведение четного и нечетного чисел - четное число. Докажите самостоятельно.
А если мы поделим четное число на четное (не равное нулю)? Что получим: чет или нечет? Естественно, однозначного ответа дать нельзя. Например, при делении 12 на 4 мы получаем нечетный результат, а при делении 32 на 4 - четный.
Если вы уже заскучали, переходите ко 2-й части статьи . Потом всегда сможете вернуться. Если же все эти теоретические построения вас не слишком утомили, давайте продолжим.
А почему, собственно, мы рассматриваем только два числа. Давайте мыслить шире!
Утверждение 7 . Сумма любого количества четных чисел четна.
Доказательство. Пусть числа M 1 , M 2 , ..., M N являются четными, тогда их можно представить в виде 2K 1 , 2K 2 , ... , 2K N , где K 1 , K 2 , ..., K N - целые числа.
Тогда: M 1 + M 2 + ... + M N = 2K 1 + 2K 2 + ... + 2K N = 2(K 1 + K 2 + ... + K N) = 2S, где S-целое число. Четность доказана.
Утверждение 8 . Сумма четного количества нечетных чисел четна. Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. Докажите самостоятельно.
Утверждение 9 . Произведение может быть нечетным только в том случае, если все сомножители нечетны. Докажите самостоятельно.
Так, сумма 2+4+6+...+1022+1024 четна, поскольку все слагаемые четны. Сумма 1+3+5+7+9 нечетна, т. к. содержит 5 нечетных слагаемых. Произведение 2*3*4*...*1001*1002 четно уже хотя бы по той причине, что первый сомножитель является четным.
Задание 4 . Четными или нечетными будут следующие выражения: а) 2+12+22+...+1002+1012+1022, б) 1+11+111+...+111111+1111111, в) 3*13*23*...*10003*10013*10023, г) 2*3*4*...*12357891 ?
Задание 5 . Докажите, что произведение всех простых чисел, не превосходящих 1000000, четно. Докажите, что произведение любого количества простых чисел, каждое из которых больше 100, нечетно. Напомню, что натуральное число называется простым, если делится только на себя и на 1.
И вновь о сумме и произведении
Пример 2 . Юный математик Петя сложил сумму двух целых чисел и их произведение. Он утверждает, что у него получилось число 56792. Возможно ли такое, если известно, что хотя бы одно из исходных чисел нечетно?
Решение. Обозначим исходные числа A и B. Очевидно, возможно 4 варианта:
- A и В - четные числа (но этот случай в задаче не рассматривается),
- A и B - нечетные числа,
- A четно, а B нечетно,
- A нечетно, B четно.
В принципе, два последних случая можно было бы безболезненно объединить, но для нас это сейчас несущественно. В предыдущем пункте мы выяснили все, что касается четности суммы и произведения. А теперь давайте составим таблицу. В первых двух колонках укажем четность чисел А и В, в 3-й колонке - четность суммы, в 4-й четность произведения, в 5-й - четность итогового числа.
| A | B | A+B | AB | (A+B) + АВ |
| Ч | Ч | Ч | Ч | Ч |
| Н | Н | Ч | Н | Н |
| Ч | Н | Н | Ч | Н |
| Н | Ч | Н | Ч | Н |
Во всех случаях (кроме первого) получаем нечетный результат!
Между прочим, наш юный друг Петя утверждает, что получил четное число. Мы доказали, что это невозможно. Петя ошибся.
Задание 6 . Юный математик Маша умножила произведение двух целых чисел на их сумму. Она утверждает, что получилось число 89999719. Права ли Маша?
Задание 7 . Юный математик Петя утверждает, что при сложении двух целых чисел получил 927, а при умножении - 6321. Возможно ли такое? Объясните ваш ответ.
Сознаю, что первая часть статьи может показаться читателю довольно утомительной и однообразной. К сожалению, обойтись без этих "скучных" базовых понятий нельзя. Обещаю, что дальше будет гораздо интереснее.
Во вселенной существуют пары противоположностей, которые являются важным фактором ее устройства. Основные свойства, которые нумерологи приписывают нечетным (1, 3, 5, 7, 9) и четным (2, 4, 6, 8) числам, как парам противоположностей, следующие:
Нечетные числа обладают гораздо более яркими свойствами. Рядом с энергией "1", блеском и удачливостью "3", авантюрной подвижностью и многогранностью "5", мудростью "7" и совершенством "9" четные числа выглядят не столь ярко. Насчитывается 10 основных пар противоположностей, существующих во Вселенной. Среди этих пар: четное - нечетное, один - много, правое - левое, мужское - женское, добро - зло. Один, правое, мужское и доброе ассоциировалось с нечетными числами; много, левое, женское и злое - с четными.
Нечетные числа обладают некой производящей серединой, в то время как в любом четном числе есть воспринимающее отверстие как бы лакуна внутри себя. Мужские свойства фаллических нечетных чисел вытекают из того факта, что они сильнее четных. Если четное число расщепить пополам, то, кроме пустоты, посередине ничего не останется. Нечетное число разбить непросто, потому что посередине остается точка. Если же соединить вместе четное и нечетное числа, то победит нечетное, так как результат всегда будет нечетным. Именно поэтому нечетные числа обладают мужскими свойствами, властными и резкими, а четные - женскими, пассивными и воспринимающими. Нечетных чисел нечетное число: их пять. Четных чисел четное число - четыре.
Нечетные числа - солнечные, электрические, кислотные и динамичные. Они являются слагаемыми; их с чем либо складывают. Четные числа - лунные, магнетические, щелочные и статичные. Они являются вычитаемыми, их уменьшают. Они остаются без движения, потому что имеют четные группы пар (2 и 4; 6 и 8).
Если мы сгруппируем нечетные числа, одно число всегда останется без своей пары (1 и 3; 5 и 7; 9). Это делает их динамичными.
Два подобных числа (два нечетных числа или два четных) не являются благоприятными.
Четное + четное = четное (статичное) 2+2=4
четное + нечетное = нечетное (динамичное) 3+2=5
нечетное + нечетное = четное (статичное) 3+3=6
Некоторые числа дружественны; другие противостоят друг другу. Взаимоотношения чисел определяются отношениями между планетами, которые ими управляют. Когда два дружественных числа соприкасаются, их сотрудничество не очень продуктивно. Подобно друзьям, они расслабляются - и ничего не происходит. Но когда в одной комбинации находятся враждебные числа, они заставляют друг друга быть настороже и побуждают к активным действиям; таким образом, эти два человека работают намного больше. В таком случае, враждебные числа оказываются на самом деле друзьями, а друзья - настоящими врагами, тормозящими прогресс. Нейтральные числа остаются неактивными. Они не дают поддержки, не вызывают и не подавляют активность.
| 24. Guest, 2020-01-19 04:03:11 |
Четные числа символизируют материальный мир и планомерную работу, утверждает нумерология.
Нечетные указывают на духовные искания и попытки творческого преобразования материального мира.
Четные числа показывают, что человек будет пытаться решать свои проблемы внутри себя, в собственной семье, среди своего ок ружения, в знакомой и привычной обстановке; это всегда закреп ление нового,.превращение нового в привычное путем материаль ных и физических усилий.
Нечетные числа указывают на решение проблем в первую оче редь в окружающем мире и с его помощью. Они говорят о конф ликте личности с миром. Человек разрешает его, расширяя созна ние, овладевая миром вещей и чувств и познавая законы природы. Это познание нового путем духовных усилий.
Четные числа связаны с разрешением человеческих конфликтов:
2 - внутренних на уровне эмоций;
4 - в семье и в небольших коллективах;
6 и 8 - между большими группами людей, народами, культу рами. Это конфликты, имеющие отношение к управлению обществом и потоками информации.
Нечетные числа означают конфликт человека с миром на уровне: 1 - желаний и возможностей;
3 - открытия мира и выбора своего места в нем;
5 - завоевания мира;
7 - познания мира и законов творчества; 9 - постижения смысла жизни.
Те и другие конфликты с нарастанием значения числа все больше превращаются из личных в общественные, подчиняясь социаль ным задачам. Числа определяют эволюцию конфликтов. Все чис ла порождают агрессию, но чем больше число, тем она разумнее. Четные числа содержат в себе внутреннюю агрессию, которая час то внутри же и реализуется.
Нечетное число старается открыть человека для мира, а четное, наоборот, пытается его от мира спрятать. А смысл любого числового конфликта заключается в его устранении посредством физи ческих или духовных усилий.
Числа от 1 до 9 являются основными и образуют все другие, например: 10 = 1 +0 = 1, а значит, первая ступень. Многозначные 13 = 7 + 6 - гибель в неравной борьбе;
13 = 8 + 5 - самоубийство;
13 = 9+4 - преждевременная смерть от неподходящих условий жизни;
13 = 10+3 - смерть в родах;
13 =11 + 2 - смерть от сознания трагичности двойственного положения;
13 = 12+1 - переход адепта в другой план как следствие завер шения его задачи на Земле.
В нумерологии подчеркивает искушения (от Князя тьмы), кар му страха и лени.
14 - это число, составленное из двух семерок, у древних каббалистов считалось счастливым и обозначало число превращений, метаморфоз. Символ умеренности (при нарушении формируется карма неумеренности).
15 - ч исло духовных вознесений; пятнадцатое число седьмого месяца было уважаемо и освящено. Оно таинственно связано с проблемами добра и зла, незаметно может сделать человека рабом пентаграмм (5). Для каббалистов оно представляло Гения зла.
16 - п ифагорейцами почиталось как счастливое, так как пред ставляло собой совершенный четырехугольник. Предупреждает о возможной гордыне (при нарушении формирует карму гордыни и неумение решать любовные вопросы).
17 - число Божьей Матери, покровительницы христиан.
18 - из-за недостаточной духовности - число зелья и рока, суеверия и ошибок, несчастливое.
19 - в Каббале считается благоприятным числом, так как со стоит из двух счастливых чисел: 1 и 9, которые, будучи сложенны ми, дают 10 - совершенное число, число закона. Это также число солнца, золота и философского камня. Предостерегает от зацик-ленности на своих мелких проблемах (при нарушениях формиру ет карму зацикленности).
20 - ч исло истины, веры, здоровья. Но теологи считают его не счастным, особенно в партнёрстве: это - или качественный скачок на высшую ступень отношений, или быстрое падение. (Не стремитесь утирать нос другим!)
21 - Корона магии, связь с Высшим разумом. Число прорицаний, состоящее из трех семерок или семи троек. Оба сочетания обладают очень сильными магическими свойствами, обеспечива ют помощь Высших сил просящему человеку.
22 - Господствующее (Главное), число Высшего разума. У это го числа достаточно сил для воплощения крупных замыслов. Для направления духовных и физических сил в нужное русло требуются мудрость, разум и терпение, иначе многое может быть растрачено в хвастовстве, прикрывающем комплекс неполноценности.
28 - число Бога, Творца Вселенной. Число дней лунного меся ца, поэтому предвещает благосклонность Луны.
30 - Число 30 замечательно по многим тайнам. Разум, не зна ющий предела и преград. Предупреждает о возможном получении крупной суммы и о ее возможной потере (при явном корыстолюбии).
31 - число подчёркивает добродетель или указывает на корень зла (духовное растление).
32 - у пифагорейцев - число правосудия, так как оно может последовательно делиться на равные части, не отдавая ни одной предпочтения. Еврейские ученые приписывали ему мудрость, вер ность, владение магией заклинаний.
33 - Господствующее (Главное) число в нумерологии. Это со четание чисел придает больше действенности содержащейся в них шестёрке и выражает прозрение, озарение, осознанное служение людям, самоотдачу, доверие, которые, однако, не должны перехо дить в самоотречение и мученичество, граничащее с безответственностью.
40 - число абсолютной законченности. По словам Святого Августина, оно отражает наше путешествие к истине, наш путь на небо. Мы отмечаем 40 дней после смерти близких. Сорок дней и ночей лил дождь при потопе, 40 дней провел Иисус в пустыне... Число 40 символизирует здоровье. Может, отсюда берет истоки вера людей, что для нормального внутриутробного разви тия ребенка нужно носить его 7 х 40 = 280 дней - десять (полное?и сло) лунных месяцев. Слово карантин в буквальном переводе означает сорокадневный период. Мы можем вспомнить также и русское выражение сорок сороков, и многие другое. В негативе указывает на беспредельную власть (деспота) в стра не или семье.
50 - означает освобождение от рабства и полную свободу.
60 - как и 3,7,12, издревле считалось священным числом. Хал дейские маги, умевшие производить сложнейшие астрономические вычисления, наряду с десятиричной системой пользовались шестидесятиричной. Осколки этих знаний дошли и до нас: круг делится на 60 градусов, в каждом градусе 60 минут по 60 секунд в каждой, час длится 60 минут и т. д.
72 - имеет большое сходство с 12.
100 - выражает полное совершенство.
1000 (куб десяти) - отражает абсолютное совершенство.
По словам многих каббалистов, простые числа представляют божественные вещи, десятки - небесные, тысячи - сущность бу дущих веков.
Господствующими числами в нумерологии считаются 11,22 и 33.
Освежим в памяти понятия Универсального и Персонального годов. Они в следующей теме нам понадобятся (см. тему Экс курсии).
Число Универсального года (УГ) определяет качества событий и явлений мира и нужно для нахождения числа Персональ ного года. Такие вибрации влияют на человека, места и другие предметы. Универсальный год определяется сложением цифр лю бого рассматриваемого года и последующим преобразованием в однозначное число (кроме Господствующих чисел).
Вибрации Персонального года (ПГ) влияют непосредственно на человека. Мы все имеем свои персональные вибрации. В один и тот же Универсальный год человек с определенным Персональным числом принимает вибрации, отличные от тех, которые при нимает человек с другим Персональным числом. Многие имеют одинаковые Персональные числа, вибрирующие для них в одно и то же время, но каждый может использовать или интерпрети ровать их по-разному. Находится Персональный год суммой дня, месяца рождения и номера Универсального года.
Нумерология. Ноль. Четные и нечетные числа. 9 одиночных чиселДля нумерологов существует только девять чисел, которые участвуют во всех вычислениях материального мира. Все числа выше 9 лишь повторяют их. Простым методом сложения они сокращаются до одиночных целых чисел. Например, число 10 - это не целое число, а просто 1 с нулем.
Ноль - это не число и он не имеет нумерологической ценности. В западной оккультной традиции ноль считается символом вечности. Удивительно узнать, что ноль впервые появился в западном мире только несколько столетий назад. Его введение в значительной мере помогло развитию математики, науки, современной технологии. На востоке, где он был известен с зарождения цивилизации, ноль известен как шунья или пустота, что является основой буддизма. Когда ноль один, он не имеет ценности, потому что является абстрактным, а числа конкретны. Когда ноль сочетается с числом, он дает рождение арифметическим прогрессиям и сериям двойных, тройных и множественных чисел: таких, как 10, 100, 1000. Если вы ничего не знаете о ноле, вы не можете работать с числами выше 9 (то есть, выходя за пределы материального мира). Если вы знаете о нем, его мистическая природа приведет вас в вечность и повредит вашему
материальному прогрессу. Ноль считается неудачным. Когда ноль появляется в дате рождения это приносит неудачу. Даже десятый месяц в году (октябрь), будучи 10-м, приносит неудачу, хотя и в малой степени. Появление нуля в году рождения также приносит неудачу - но в еще меньшей степени. Комбинация нуля с другим числом уменьшает влияние этого числа. Люди, имеющие ноль в дате рождения, в общем, должны в своей жизни больше бороться, чем те, у которых нуля нет. Присутствие более чем одного ноля в дате рождения - например, октябрь (десятый месяц) 10; 1950 - вынуждает в жизни очень много работать. В нуле присутствуют все числа от 1 до 9, и когда ноль соединяется с этими числами, то развивается целая особая серия чисел. Например, когда ноль объединяется с числом 1, образуется серия чисел с 11 по 19. Введение ноля с целью развития математики, общей науки, и современной технологии, привело человечество к веку компьютеров, но сам по себе ноль не "существует".
Четные и нечетные числа
Числа разделить на две основные группы
НЕЧЕТНЫЕ: 1, 3, 5, 7, 9 и ЧЕТНЫЕ: 2, 4, 6, 8
Нечетных чисел нечетное число; их пять. Четных же чисел четное число, четыре.
Нечетные числа - солнечные, мужские, электрические, кислотные и динамичные. Они слагаемые (их складывают с чем-либо).
Четные числа - лунные, женские, магнетические, щелочные, и статичные. Они вычитаемые (их уменьшают). Они остаются без движения, потому что имеют четные группы пар (2 и 4; 6 и
Cool. Если мы сгруппируем нечетные числа, одно число всегда останется без своей пары (1 и 3; 5 и 7; 9). Это делает их динамичными.
В общем, два подобных числа (два нечетных числа или два четных) не являются благоприятными.
четное + четное = четное (статичное)
2 + 2 = 4
четное + нечетное = нечетное (динамичное)
3 + 2 = 5 нечетное+нечетное = четное (статичное)
3 + 3 = 6
Некоторые числа дружественны; другие противостоят друг другу. Взаимоотношения чисел определяются отношениями между планетами, которые ими управляют (см. последующие главы). Когда два дружественных числа соприкасаются, их сотрудничество не очень продуктивно. Подобно друзьям, они расслабляются - и ничего не происходит. Но когда в одной комбинации находятся враждебные числа, они заставляют друг друга быть настороже и побуждают к активным действиям; таким образом, эти два человека работают намного больше. В таком случае, враждебные числа оказываются на самом деле друзьями, а друзья - настоящими врагами, тормозящими прогресс.
Нейтральные числа остаются неактивными. Они не дают поддержки, не вызывают и ни подавляют активность.
Универсальный друг
ЧИСЛО 6 уникально тем, что является общим как для нечетных, так и для четных чисел. Оно может быть результатом комбинации как трех (3 - нечетное число) четных чисел, так и двух (2 - четное число) нечетных чисел. В комбинации 2+2+2=6 четное число 2 повторяется три раза; это является нечетным числом
повторений. В комбинации 3+3=6, нечетное число 3 повторяется дважды, здесь четное число повторений.
Будучи общим для обоих групп, число 6, таким образом, известно как универсальный друг.
9 одиночных чисел.
Существует девять одиночных чисел. Отношения чисел к планетам и есть ключ нумерологии. В индуистской системе эти отношения такие же, как и в западной, но есть два следующих исключения. Число 4 в индуистской системе соотносится с Раху (северный полюс Луны), в то время как в западной системе это число относиться к Луне и Урану. Число 7 в индуистской системе соотносится с Кету (южный полюс Луны), в то время как в западной системе это число относится к Луне и Нептуну. Природа и поведение чисел следует от управляющих планет:
планета число качества
Солнце I царственность (царь), доброта,
великолепие, дисциплинированность, авторитарность, сила, оригинальность
Луна 2 царственность (царица), привлекательность,
изменчивость, деликатность
Юпитер 3 духовность, склонность давать советы,
дружественность, сосредоточенность, дисциплинированность
Раху 4 мятежность, импульсивность, вспыльчивость,
скрытность
Меркурий 5 великолепие, любовь к развлечениям,
хитрость, разумность, чувствительность
Венера 6 романтичность, медлительность, чувственность,
умение говорить, дипломатичность, изобретательность
Кету 7 мистика, мечтательность, интуиция,
изобретательность
Сатурн 8 мудрость, зловредность, трудолюбие,
услужливость, страдание, воинственность
Марс 9 сила, грубость, воинственность, простота,
самосовершенствование, мнительность, борьба, отчуждение, различение плохого и хорошего
Каждая личность подвержена влиянию трех чисел: души, имени и судьбы. Влияние этих чисел отличается от влияния девяти планет в астрологических домах. Влияние Солнца само по себе, например, изменяется в зависимости от дома и зодиакального знака, в котором оно располагается в натальной карте рождения. С изменением знака Солнца изменяется и поведение человека.
В нумерологии все люди с числом души 1 имеют качества этого числа (1) - в соответствии с месяцем, в котором они были рождены. Различия в месяце, знаке Луны, знаке Солнца и восхождении только изменяет направленность их поведения.
У всех людей, имеющих своим числом 1 ("единицы"), одни и те же Благоприятные дни, даты и годы жизни; им также свойственны одни и те же цвета, камни, диеты и мантры. В астрологии, напротив, сила планет и соответственно их управление числами меняется в зависимости от того, в каком доме они находятся. Например, восхождение Солнца в позиции Овна в восьмом или двенадцатом доме становится бесплодным, потому что эти позиции расположены в неблагоприятных домах. Подобная же позиция Солнца в Овне становиться просто замечатель-
ной в десятом доме. Подобным образом, восхождение Сатурна неблагоприятно в третьем, шестом, девятом или одиннадцатом доме и так далее. Астрология - более точная наука, чем нумерология. Такие специфические детали помогают астрологу в понимании статуса личности. Нумерология - это более общее учение и рассматривает только поведенческий аспект человеческой личности. В ней выработан свой язык, который относится к обсуждению персональных качеств человека. Нумерология также более проста для изучения, чем астрология. Достаточно легко запомнить некоторые вещи, особо не вдаваясь в подробности, например, движения планет. Нумерология - это наука доступная каждому.
Целое число называется четным, если оно делится на 2; в противном случае оно называется нечетным. Таким образом, четными числами являются
и нечетными числами -
Из делимости четных чисел на два вытекает, что каждое четное число можно записать в виде , где символ обозначает произвольное целое число. Когда некоторый символ (подобно букве в рассматриваемом нами случае) может представлять любой элемент некоторого определенного множества объектов (множества целых чисел в нашем случае), мы говорим, что областью значений этого символа является указанное множество объектов. В соответствии с этим в рассматриваемом случае мы говорим, что каждое четное число может быть записано в виде , где область значений символа совпадает с множеством целых чисел. Например, четные числа 18, 34, 12 и -62 имеют вид , где соответственно равно 9, 17, 6 и -31. Нет особой причины использовать здесь именно букву . Вместо того чтобы говорить, что четными числами являются целые числа вида равным образом можно было бы сказать, что четные числа имеют вид или или
При сложении двух четных чисел в результате получается тоже четное число. Это обстоятельство иллюстрируется следующими примерами:
Однако для доказательства общего утверждения о том, что множество четных чисел замкнуто относительно сложения, недостаточно набора примеров. Чтобы дать такое доказательство, обозначим одно четное число через , а другое - через . Складывая эти числа, можно написать
Сумма записана в виде . Из этого видна ее делимость на 2. Было бы недостаточно написать
поскольку последнее выражение представляет собой сумму четного числа и того же самого числа. Иными словами, мы доказали бы, что удвоенное четное число есть опять четное число (в действительности делящееся даже на 4), в то время как нужно доказать, что сумма любых двух четных чисел есть число четное. Поэтому мы использовали обозначение для одного четного числа и для другого четного числа с тем, чтобы указать, что эти числа могут быть и разными.
Какое обозначение можно использовать для записи любого нечетного числа? Отметим, что при вычитании 1 из нечетного числа получается четное число. Поэтому можно утверждать, что любое нечетное число записывается виде Запись такого рода не единственна. Подобным же образом мы могли бы заметить, что при прибавлении 1 к нечетному числу получается четное число, и могли бы заключить отсюда, что любое нечетное число записывается в виде
Аналогично можно сказать, что любое нечетное число записывается в виде или или и т. д.
Можно ли утверждать, что каждое нечетное число записывается в виде Подставляя в эту формулу вместо целые числа
получаем следующее множество чисел:
Каждое из этих чисел нечетно, однако ими не исчерпываются все нечетные числа. Например, нечетное число 5 не может быть так записано. Таким образом, неверно, что каждое нечетное число имеет вид , хотя каждое целое число вида нечетно. Аналогично неверно, что каждое четное число записывается в виде где область значений символа k есть множество всех целых чисел. Например, 6 не равно какое бы целое число ни взять в качестве А. Однако каждое целое число вида четно.
Соотношение между этими утверждениями - то же самое, что и между утверждениями «все кошки - животные» и «все животные - кошки». Ясно, что первое из них верно, а второе - нет. Это соотношение будет обсуждаться дальше при разборе утверждений, включающих фразы «тогда», «только тогда» и «тогда и только тогда» (см. § 3 гл. II).
Упражнения
Какие из следующих утверждений верны и какие ложны? (Предполагается, что областью значений символов является совокупность всех целых чисел.)
1. Каждое нечетное число может быть представлено в виде
2. Каждое целое число вида а) (см. упр. 1) нечетно; это же имеет место для чисел вида б), в), г), д) и е).
3. Каждое четное число может быть представлено, в виде
4. Каждое целое число вида а) (см. упр. 3) четно; то же самое имеет место для чисел вида б), в), г) и д).
